Как сделать синусоиду в excel?

Презентация на тему: » « Построение графиков функции y = sinx и y = cosx».» — Транскрипт:

1

« Построение графиков функции y = sinx и y = cosx».

2

Цели : 1)Повторить правила преобразований функции: y = f(x) + m y = f(x + t) y = af(x)

3

2) Научиться строить графики вида y = f(x + t) + m 3)Закрепить умения, выполнив практические задания.

4

Построение графиков функций у = sinx + m и у = cosх + m.

5

x y 1 Преобразование: y = sinx + m Сдвиг у= sinx по оси y вверх, m > 0 m

6

x y 1 Преобразование: y = cosx + m Сдвиг у=cosx по оси y вверх, m > 0 m

7

x y 1 Преобразование: y = sinx + m Сдвиг у= sinx по оси y вниз, m

8

x y 1 Преобразование: y = cosx + m Сдвиг у= cosx по оси y вниз, m

9

Параллельный перенос графика вдоль оси Оу График функции y=f(x)+m получается параллельным переносом графика функции y=f(x), вверх на m единиц, если m>0, или вниз, если m

10

Задание: Постройте в одной координатной плоскости графики функций: y 1 = sinx; у 2 = sinx + 2; у 3 = sinx — 2.

11

x y 1 -2 Проверка: y 1 = sinx; у 2 = sinx + 2; у 3 = sinx

12

Задание: Постройте в одной координатной плоскости графики функций: y 1 = cosx; у 2 = cosx + 2; у 3 = cosx — 2.

13

x y 1 -2 Проверка: y 1 = cosx; у 2 = cosx + 2;у 3 = cosx

14

Построение графиков функций y= sin(x+t) и у = cos(x+ t).

15

x y 1 Преобразование: y = sin(x + t) сдвиг у=f(x) по оси х влево, t > 0 t

16

x y 1 Преобразование: y = cos(x + t) сдвиг у=f(x) по оси х влево, t > 0 t

17

x y 1 Преобразование: y = sin(x + t) сдвиг у=f(x) по оси х вправо, t

18

x y 1 Преобразование: y = cos(x + t) сдвиг у=f(x) по оси х вправо, t

19

Параллельный перенос графика вдоль оси Ох График функции y = f(x + t) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) по оси х на |t| единиц масштаба влево, если t > 0 и вправо, если t

20

Задание: Постройте в одной координатной плоскости графики функций: y 1 = sinx; у 2 = sin(x + ); у 3 = sin(x ).

21

x y 1 Проверка: y 1 = sinx; у 2 = sin(x + ); у 3 = sin(x ). 0

22

Задание: Постройте в одной координатной плоскости графики функций: 1)y 1 = cosx; 2)у 2 = cos(x + ); 3) у 3 = cos(x — ).

23

x y 1 Проверка: y 1 = cosx; у 2 = cos(x + ); у 3 = cos(x — ).

24

Построение графиков функций у = asinx и y = acosx, а > 1 и 0

25

x y Преобразование: y = asinx, a >1 1 -1,5

26

x y 1 Преобразование: y = acosx, a >1

27

x y 1 Преобразование: y = asinx, 0

28

x y 1 Преобразование: y = acosx, 0

29

Построение графика функции у=аf(x) График функции у=аf(x) получаем растяжением графика функции у=f(x) с коэффициентом а от оси Ох,если а>1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0

30

Постройте в одной координатной плоскости графики функций: y 1 = sinx; у 2 = 2sinx у 3 = ¼ sinx

31

x y 1 Проверка: y 1 = sinx; у 2 = 2sinx; у 3 = ¼ sinx 2

32

Постройте в одной координатной плоскости графики функций: y 1 = cosx; у 2 = 3cosx у 3 = ¼ cosx

33

x y 1 Проверка: y 1 = cosx; у 2 = 3cosx; у 3 = ¼ cosx 2

34

Постройте графики функций: Задание: у 2 = cos(x + ) — 2 у 1 = sin(x — ) +2

35

x y 1 Проверка: у 1 = sin(x — ) +2 2

36

x y 1 Проверка: у 2 = cos(x + )

37

Вывод: График функции y=f(x + t) + m может быть получен из графика функции y=f(x) с помощью двух последовательных сдвигов на t единиц вдоль оси Ох и на m единиц вдоль оси Оу.

38

Постройте самостоятельно графики функций: Вариант 1. Вариант 2. 1.у = cos(x– ); 1. y=sin(x — ); 1.у = sinx +2,5; 2. y=cosx – 2,5; 2.у = 3sinx 3. у = ½cosx 3.у =cos(x – ) + 2; 4. y=sin(x — ) +2; 5. у = ¼sin(x — ) + 2; 5. y=3cos(x + )-1;

39

x y 1 -2 Вариант 1. Проверка. у = cos(x– ); у = sinx +2,5. 2,5

40

x y 1 -3 Вариант 1. Проверка. у =3sinx. 3

41

x y 1 -2 Вариант 1. Проверка. у =cos(x – )

42

x y 1 Вариант 1. Проверка. у = ¼sin(x — ) + 2 2

43

x y 1 -2 Вариант 2. Проверка. y=sin(x — ); y=cosx – 2,5. 2,5

44

x y 1 Вариант 2. Проверка. у = ½cosx

45

x y 1 -2 Вариант 2. Проверка. y=sin(x — ) +2; 2

46

x y 1 Вариант 1.Проверка. у = 2,5cos(x + )-1; 2

Как рисовать синусоиды в PowerPoint 2010

Если вам нужно нарисовать синусоиду в PowerPoint для презентаций, то здесь мы покажем различные подходы, которые можно использовать в зависимости от ваших потребностей.

Синусоида или синусоидальная волна представляет собой математическую кривую, которая описывает плавный повторяющиеся колебания. Она названа в честь функции синус, из которого она является граф.

Например, колебание незатухающой системы весенне-масс вокруг равновесия является синусоида может быть смоделирована с синусоидальной способом, или вы можете также смоделировать колебание маятника.

 Используйте Fooplot нарисовать идеальную кривую синусоида для PowerPoint

Как мы уже видели, Fooplot хороший онлайн инструмент, который позволяет создавать графики и сюжет какой-либо функции в Интернете. Мы можем указать грех и соз и сделать хорошую синусоиду для наших презентаций PowerPoint, а также другие математические графики для презентаций. Вы можете также использовать эту функцию, чтобы сделать шаблоны математические функции PowerPoint для загрузки.

После этого вы можете сгенерировать выходной файл как PNG или любой другой формат, и вставить его в PowerPoint 2010. Ниже вы можете увидеть пример PowerPoint слайд, показывающий функцию sin (х).

 Участок синусоидальной волны с помощью кривых Безье

Другой подход сделать этот вид кривых с помощью кривых Безье. Тем не менее, результат вы можете получить с помощью этих кривых не может быть совершенным. В зависимости от ваших потребностей презентации, вы можете выбрать между созданием синусоиде, используя этот подход или более точный подход, как построение синусоиду в Fooplot или Matlab.

Рисунок синусоидальной волны с помощью кривых Безье может быть не очень практичным на первый взгляд, и вам нужно отредактировать точки, чтобы сделать его более точным. Вы можете проследить в PowerPoint с помощью метода трассировки, что мы ниже объяснена над грехом (х) сюжет, созданный ранее как изображение. Тогда вы можете представить простую синусоиду волны, как в приведенном выше примере.

 Нарисуйте синусоиды в Excel и вставить его в PowerPoint

Другой подход должен был бы сделать синусоидальную кривую в Excel с помощью функции Excel греховную, а затем скопировать и вставить полученный рисунок в PowerPoint слайд. Используя этот подход.

Для построения синусоиды в Excel можно использовать инструкции в этом формате PDF. В основном то, что она предлагает, чтобы создать таблицу со следующей информацией: (.

Сек) Ввод частоты, Omega, амплитуда и Delta T.

Затем введите начальное время (в данном примере равен нулю) и заполнить колонку времени, используя уравнение авш Т + 1 = T + дельта. Теперь вы можете заполнить значения в рамках функции синусоида с помощью функции sin () в Excel.

Наконец, используйте XY график рассеяния для создания диаграммы.

Когда вы будете готовы, вы можете скопировать и вставить сюжет в презентации PowerPoint.

История тригонометрии

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (, 1) и (, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Слишком сложно?
Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу

Опиши задание

Логарифмическая функция

Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y=ln(x).

Пример 3

Построить функцию y=lne2·-12×3 при помощи преобразования y=ln(x).

Решение

Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:

y=lne2·-12×3=ln(e2)+ln-12×13=13ln-12x+2

Преобразования логарифмической функции выглядят так:

y=ln(x)→y=13ln(x)→y=13ln12x→→y=13ln-12x→y=13ln-12x+2

Изобразим график исходной логарифмической функции

Производим сжимание строе по Оу

Производим растягивание вдоль Ох

Производим отображение относительно Оу

Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем

Для преобразования графиков тригонометрической функциинеобходимо подгонять под схему решения вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b. Необходимо , чтобы k2 приравнивался к Tk2. Отсюда получаем, что <k2<1 дает понять, что график функции увеличивает период по Ох, при k1 уменьшает его. От коэффициента k1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

Общая схема построения графика функциис помощью геометрических преобразований

Рассмотрим функцию , которая «базируется» на некоторой функции . Для многих читателей алгоритм построения графика уже понятен:

– на первом шаге выполняем преобразования, связанные с АРГУМЕНТОМ функции (см. первые два параграфа), в результате чего получаем график функции ;

– на втором шаге выполняем только что рассмотренные преобразования, связанные с самой ФУНКЦИЕЙ, и получаем график .

Завершим самое длинное построение данного урока:

Пример 19 (концовка Примера 10)

Построить график функции

В примере №10 мы выполнили построение графика , то есть полностью разобрались с аргументом функции. И сейчас осталось выполнить завершающие шаги.

График функции :

4) отобразим симметрично относительно оси : ;
5) сдвинем вдоль оси  на 3 единицы вверх: :

На практике, к счастью, построения почти всегда более коротки, например:

 – кубическую параболу  сдвигаем вдоль оси  на 5 единиц вправо и сжимаем вдоль оси  в 3 раза.

 – график экспоненты отображаем симметрично относительно оси ординат, затем – симметрично относительно оси абсцисс.

 – график функции  смещаем влево на 5 единиц, затем – вверх на 1 единицу.

И т.д. Некоторые геометрические преобразования можно поменять местами, но это возможно далеко не всегда! Поэтому «чайникам» лучше придерживаться алгоритма, изложенного в начале параграфа.

Весь материал статьи, который носит в бОльшей степени всё-таки справочный характер, потребуется для выполнения чертежей в других задачах, но время от времени на практике рассматриваемое задание встречается отдельно, причём, бывает, в «сыром» виде:

Пример 20

Построить график функции  с помощью преобразований графиков элементарных функций

Методику быстрого построения параболы я разобрал на первом уроке о графиках функций, однако здесь по условию необходимо применить вполне определённый способ.

На первом шаге представим функцию в виде . Для этого используем так называемый метод выделения полного квадрата. Советую не пренебрегать задачей, поскольку типовой приём потребуется и в будущем, например, при нахождении интегралов от некоторых дробей.

Идея состоит в том, чтобы искусственно преобразовать функцию ТАК, чтобы воспользоваться одной из формул сокращенного умножения  либо .

Начнём преобразования. Коэффициент при  выносим за скобку:
Очевидно, что выражение сведётся к формуле . В скобках конструируем :
Таким образом, . Теперь организуем , для этого в скобках прибавим и вычтем :
Последнее слагаемое выносим из скобок:
Используем формулу  и суммируем два последних слагаемых:

В целях проверки целесообразно раскрыть скобки и убедиться, что получится исходная функция:

Построим график . Параболу :

1) Сдвинем вдоль оси  на  влево:  (синий цвет);
2) Вытянем вдоль оси  в 2 раза:  (малиновый цвет);
3) Сдвинем вдоль оси  на  вверх:  (красный цвет):

Рассмотрим ещё один типовой трюк:

Пример 21

Построить график функции  с помощью преобразований графиков элементарных функций.

Сначала сведём функцию к виду . Все действия я закомментирую:

(1) В знаменателе выносим –1 за скобки. Это необходимо, чтобы аргумент функции представить «в привычном» порядке .
(2) Минус знаменателя поставим перед дробью. В числителе проведём искусственное преобразование – прибавим и вычтем единицу. Это необходимо для почленного деления на следующем шаге.
(3) Почленно делим числитель на знаменатель. Возьмите на заметку рассмотренный приём, он используется при интегрировании дробей.
(4) Раскрываем скобки.

Проведём построение. График гиперболы  (чёрный цвет):

1) Сдвинем вправо на 1 единицу:  (синий цвет);
2) Отобразим симметрично относительно оси абсцисс:  (малиновый цвет);
3) Сдвинем вдоль оси  на единицу вниз:  (красный цвет):

Перейдём к заключительной части урока, в которой речь пойдёт о модуле. Хотел её сделать отдельной небольшой страничкой или pdf-кой, да потом передумал, чего уж тут мелочиться. Хотя эта статья далеко не рекордная по количеству букв, солидную часть объема занимают чертежи.

Примеры использования функций SIN, SINH, COS и COSH в Excel

Пример 1. Путешественник движется вверх на гору с уклоном в 17°. Скорость движения постоянная и составляет 4 км/ч. Определить, на какой высоте относительно начальной точке отсчета он окажется спустя 3 часа.

Таблица данных:

Для решения используем формулу:

=B2*B3*SIN(РАДИАНЫ(B1))

Описание аргументов:

  • B2*B3 – произведение скорости на время пути, результатом которого является пройденное расстояние (гипотенуза прямоугольного треугольника);
  • SIN(РАДИАНЫ(B1)) – синус угла уклона, выраженного в радианах с помощью функции РАДИАНЫ.

В результате расчетов мы получили величину малого катета прямоугольного треугольника, который характеризует высоту подъема путешественника.

Синус против прямых

Не забывайте разделять идеи и примеры: квадрат — это лишь пример сочетания линий. А синус как понятие совсем не является «частью окружности».

Давайте рассмотрим синус в симуляторе.

Смайлик начнет свой путь:

  • Нажмите start. Давай, смайлик, беги! Заметили это плавное движение вперёд-назад? Этот смайлик и есть синус. В таком же стиле вибрируют струны, сжимаются и разжимаются пружины, вращается маятник… и еще очень много разных тел движутся.
  • Измените «vertical» на «linear». Большая разница — видите, какими резкими стали движения на краях амплитуды?

Давайте рассмотрим различия на видео:

https://youtube.com/watch?v=WAyTK6jF5o8

  • Движение linear постоянно: мы движемся с постоянной скоростью и резко меняем направление. Это неестественное движение, как танцуют в стиле «робот» (на 0:07 движения танцора очень плавные, а на 00:38 он показывает уже стробоскопический эффект).
  • Синус меняет свою скорость: начинает двигаться быстро, замедляется, останавливается, а затем снова ускоряется. Ох уж эти очаровательные переходы в танце! (на 0:12 и 0:23 можно увидеть настоящую человеческую синусоиду, а на 00:47 — естественная упругость).

К сожалению, в учебниках танцы не показывают в качестве примера синусоиды. Авторам больше нравится представлять синусоиду изменяющейся во времени (установите «horizontal» в графе «timeline»):

(Википедия)

Проклятие. Вот этот схематический график нам всегда и показывали. Вы по нему представляете, что такое синус? Примерно также, как если бы вас заставили представить ловкость кота по изображению его скелета. Давайте сначала изучим синус в движении, а потом, конечно, изобразим его на графике.

Геометрические преобразования графика функции

Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что  график изображается функцией вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b, когда k1>, k2> являются коэффициентами сжатия при <k1<1, <k2<1 или растяжения при k1>1, k2>1 вдоль Оу и Ох. Знак перед коэффициентами k1 и k2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по Ох и по Оу.

Определение 1

Существует 3 вида геометрических преобразований графика:

  • Масштабирование вдоль Ох и Оу. На это влияют коэффициенты k1 и k2 при условии не равности 1, когда <k1<1, <k2<1, то график сжимается по Оу, а растягивается по Ох, когда k1>1, k2>1, то график растягивается по Оу и сжимается по Ох.
  • Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака — перед k1 симметрия идет относительно Ох, перед k2 идет относительно Оу. Если — отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
  • Параллельный перенос (сдвиг) вдоль Ох и Оу. Преобразование производится  при  наличии коэффициентов a и b неравных . Если значение a положительное, до график сдвигается влево на |а|единиц, если отрицательное a, тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси Оу, что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном – вниз.

Покопаемся в расчётах

Давайте опишем синус с помощью вычислений. Как в случае с e, мы можем разбить синус на маленькие части:

  • Начнем с 0 и дорастем до единичной скорости
  • В каждый момент времени мы будем замедляться из-за отрицательного ускорения

И как обо всем этом думать? Посмотрите, как каждое наше действие изменяет расстояние от центра:

  • Наш первый скачок увеличивает расстояние линейно: у (расстояние от центра) = х (затраченное время)
  • В любой момент, мы чувствуем возвращающую силу -х. Мы интегрируем дважды, чтобы обратить отрицательное ускорение в расстояние:

Понимание того, как ускорение влияет на расстояние, похоже на наблюдение за тем, как прибавки влияют на ваш банковский счёт. «Прибавка» должна изменять ваш доход, а ваш доход изменяет состояние вашего банковского счёта (два интеграла «по команде»).

Так что после «х» секунд, мы уже догадаемся, что синус это «х» (начальный импульс) минус x^3/3! (эффект ускорения):

Что-то не так — синус не спадает! В случае с е мы видели, что «проценты приносят свои проценты», в случае с синусом происходит то же самое. «Возвращающая сила» меняет наше расстояние на -x^3/3!, что создает другую возвращающую силу. Рассмотрите пружину: если отпустить пружину с грузиком внизу, то толчок будет достаточно большим, чтобы создать другой толчок, который потянет грузик обратно вверх, а потом снова вниз. Ох уж эти неугомонные пружины!

Нам нужно рассмотреть каждую возвращающую силу:

  • y = x — это наше изначальное движение, которое создает возвращающую силу удара:
  • y = -x^3/3!, которая создает возвращающую силу удара:
  • y = x^5/5!, которая создает возвращающую силу удара:
  • y = -x^7/7!, которая создает возвращающую силу удара…

Точь-в-точь как е, синус можно описать бесконечным уравнением:

Я видел эту формулу много раз, но до меня дошел ее смысл только когда я представил синус как комбинацию начального импульса и возвращающих сил. Начальный импульс (y = x, растет вверх) в итоге превосходит возвращающая сила (которая толкает нас вниз), и эта сила в свою очередь постепенно компенсируется своей возвращающей силой (что снова толкает нас вверх), и так далее.

Пара интересных заметок:

  • Рассматривайте «возвращающую силу» как «положительный или отрицательный процент». Так проще понять связь синуса и е в формуле Эйлера. Синус ведет себя как е, кроме моментов, когда он начинает зарабатывать отрицательный процент. Тут нам еще надо поучиться :).
  • Для маленьких чисел «y = x» — неплохое предположение для синуса. Мы просто берем начальный импульс и игнорируем возвращающие силы.

График синуса и косинуса

Заметим, что координаты точек, лежащей на единичной окружности, варьируются в пределах от – 1 до 1. Это означает, что значение синуса и косинуса также может находиться только в интервале между этими числами. Получается, что область значения этих ф-ций – это промежуток .

Вычислить синус и косинус можно для абсолютно любого угла поворота, поэтому область определения этих тригонометрических ф-ций – вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).

Изучение графиков тригонометрических функций начнем с синуса. В тригонометрии при построении графика синуса принято по оси Ох откладывать значение угла в радианах, а не в градусах. Из-за этого в школьной тетради тяжело точно отметить точки, через которые проходит этот график. Например, возьмем угол, равный 90°. Его величина в радианах π/2, а sinπ/2 = 1. Получается, график должен пройти через точку (π/2; 1). Однако число π/2 – иррациональное, равное примерно 1,5708…, и точно отложить отрезок длиной π/2 невозможно.

Поэтому в учебных целях график строят приближенно (естественно, что на практике точный график можно построить с помощью компьютера с любой требуемой точностью). Считают, что величина π/2 примерно равна 1,5, то есть дроби 3/2. Если выбрать масштаб, при котором единице равны 2 клеточки, то π/2 – это 3 клеточки. Тогда π/6 – это одна клеточка, а π/3 – две.

Мы знаем, что

sin 0 = 0

sin π/6 = 1/2

sin π/2 = 1

Значит, график синуса должен проходить через точки (0; 0), (π/6; 1/2) и (π/2; 1). Отметим их на координатной плоскости:

С помощью некоторых соображений симметрии можно вычислить ещё несколько точек в диапазоне от 0 до 2π. Не будем перечислять их координаты, а просто отметим их на рисунке:

Теперь соединим их плавной кривой:

Мы получили график синуса на промежутке от 0 до 2π. Но ведь мы можем вычислить синус для любого другого угла! При этом мы используем тот факт, что углам, отличающимся на 2π (на один полный оборот), на единичной окружности соответствует одинаковая точка. То есть этим двум углам будут соответствовать точки на графике с одинаковой ординатой (координатой у), но абсциссами, отличающимися на 2π. Другими словами, точку графика можно перенести на 2π (то есть 12 клеточек) влево или вправо:

Перенести можно не одну точку, а сразу всё множество точек, лежащих между 0 и 2π:

Получили ещё два участка графика, на промежутках и . Эти участки также можно переместить влево и вправо. Продолжая этот процесс бесконечно, мы получим весь график у = sinx:

В результате мы получили кривую, которую называют синусоидой.

Теперь построим график косинуса. Мы знаем что

cos 0 = 1

cos π/3 = 1/2

cos π/2 = 1

Получается, что график должен проходить через точки (0;1), (π/3; 1/2) и (π/2; 0). Отметим их на плоскости:

Можно вычислить, используя симметрию на единичной окружности, ещё несколько точек, которые должны лежать на графике. Не приводя этих вычислений, просто отметим эти точки на плоскости:

Соединяем эти точки плавной линией:

Как и в случае с синусом, участок графика косинуса можно перенести на 2π (12 клеточек влево и вправо). В результате таких действий получим окончательный вид ф-ции у = cosх:

Можно заметить несколько особенностей полученных графиков. Во-первых, все точки обоих графиков лежат в «полосе» между прямыми у = 1 и у = – 1. Это следствие того, что и у синуса, и у косинуса область значений – это промежуток :

Во-вторых, график косинуса очень похож на синусоиду. Он имеет такую же форму, но просто смещен на π/2 (3 клеточки) влево. Это не случайно, в будущих уроках мы узнаем причину этого явления. Но, так как график косинуса – это просто смещенная синусоида, то термин «косинусоида» для его обозначения почти не используется – он просто избыточен.

В-третьих, графики обладают периодичностью. Они «повторяются» с периодом 2π. Дело в том, что углам, отличающимся друг от друга на 2π (то есть ровно на один полный поворот в 360°), на единичной окружности соответствует одна и та же точка. То есть справедливы формулы:

sin (x+ 2π) = sinx

cos (x+ 2π) = sinx

В-четвертых, можно заметить, что график косинуса симметричен относительно оси Ох, а график синуса симметричен относительно начала координат. Это значит, что синус является , а косинус – . Напомним, что ф-ция f(x) является нечетной, если справедливо условие

f(x) = – f(– x)

Если f(x) – четная ф-ция, то должно выполняться условие:

f(x) = f(– x)

Действительно, если отложить на единичной окружности углы α и (– α), то можно заметить, что их косинусы будут равны друг другу, и синусы окажутся противоположными:

Поэтому верны формулы:

sin (– α) = – sinα

cos (– α) = cosα

Учитель имеет ключевое значение в процессе обучения, он хорошо знает свой предмет и сможет доступным языком объяснить даже самую сложную тему

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий